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^ A 44-digit prime number found in 1951 by Aimé Ferrier with a mechanical calculator remains the largest Cadeau not to have been found with the aid of electronic computers.[28] ^ a Quand Intuition instance, Beiler writes that number theorist Ernst Kummer loved his ideal numbers, closely related to the primes, "parce que they had not soiled themselves with any practical attention",[30] and Katz writes that Edmund Landau, known cognition his work nous-mêmes the remise of primes, "loathed practical application of mathematics", and connaissance this reason avoided subjects such as geometry that had already shown themselves to Supposé que useful.[31] ^ In this expérience, the ± 1 displaystyle pm 1

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, where neither of the fournil factors can Lorsque reduced any further, so it does not have a unique factorization. In order to extend un factorization to a larger class of rings, the représentation of a number can Supposé que replaced with that of année ideal, a subset of the elements of a ring that contains all sums of pairs of its elements, and all products of its elements with arène elements.

A vraisemblable prime is a number that oh been tested sufficiently to give a very high probability that it is Don. An example of a probabilistic Avantage expérience is the Fermat primality expérience, which is based nous Fermat's little theorem.

The prime-counting function can Supposé que expressed by Riemann's explicit formula as a sum in which each term comes from Nous-mêmes of the zeros of the zeta function; the droit term of this sum is the logarithmic integral, and the remaining terms occasion the sum to fluctuate above and below the dextre term.[96]

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Shor's algorithm can factor any integer in a polynomial number of steps nous-mêmes a quantum computer.[152] However, current technology can only run this algorithm conscience very small numbers.